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| Leere Menge: Menge ohne Element. Schreibweise ∅ oder {}. Es gibt nur eine leere Menge, da es ohne ein vorhandenes Element keine Möglichkeit gibt, eine Spezifizierung der Menge anzugeben. Die leere Menge kann damit angegeben werden, dass jedes Element der leeren Menge nicht mit sich identisch ist {x x ≠x}. Da es einen solchen Gegenstand nicht gibt, muss die Menge leer sein. Die leere Menge ist nicht die Zahl Null sondern Null gibt die Mächtigkeit der leeren Menge an._____________Anmerkung: Die obigen Begriffscharakterisierungen verstehen sich weder als Definitionen noch als erschöpfende Problemdarstellungen. Sie sollen lediglich den Zugang zu den unten angefügten Quellen erleichtern. - Lexikon der Argumente. | |||
| Autor | Begriff | Zusammenfassung/Zitate | Quellen |
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John Bigelow über Leere Menge – Lexikon der Argumente
I 374 Leere Menge/Bigelow/Pargetter: Problem: Wie wir die plurale Essenz auf sie übertragen. Lösung: „rivalisierende Theorie“ („Rivalentheorie“) darüber, welche Universalien Mengen konstituieren. >Mengen, >Mengenlehre, >Universalien. Mengen/Bigelow: These: Mengen resultieren aus den Relationen der Koextensivität zwischen Universalien. D.h. eine Menge ist das, was koextensive Universalien teilen. Allgemein: Wenn zwei Universalien nicht koextensiv sind, können sie immer noch etwas gemeinsames haben, kraft dessen sie sich überlappen. Dies ist die Menge der Dinge, die beide instanziieren ((s) Durchschnitt). >Koextension. Def Menge/rivalisierende Theorie/Bigelow/Pargetter: ist dann eine Eigenschaft von Eigenschaften. Das ist etwas anderes als die plurale Essenz. Plurale Essenz/Bigelow/Pargetter: Diese braucht keine Eigenschaft von Eigenschaften zu sein, sondern könnte ein einfaches Universale sein, das von Individuen instanziiert wird. Aber sie kann auch von Universalien instanziiert sein, weil Universalien jeder Stufe plurale Essenzen haben. >Instanziierung. Pointe: Aber die Tatsache, dass sie von Individuen instanziiert sein kann, macht die Mengenkonstruktion durch plurale Essenz zu etwas anderem als die durch Koextensivität. Def Theorie höherer Stufe/Terminologie/Bigelow/Pargetter: so nennen wir die rivalisierende Theorie. (Mengen aus Koextensivität). >Stufen/Ebenen, >Beschreibungsebenen Vorteil: Die Theorie höherer Stufe macht die leere Menge leichter zu definieren. Leere Menge/koextensive Theorie/Bigelow/Pargetter: Bsp Angenommen, ein Paar Universalien, deren Extensionen disjunkt sind. Diese beiden haben immer noch etwas gemeinsam: das, was alle disjunkten Mengen gemeinsam haben: die leere Menge. Dann haben wir Grund, an ihre Existenz zu glauben. >Extensionen, >Disjunktion, >Disjunktive Eigenschaft. I 375 Theorie höherer Stufe/Bigelow/Pargetter: kann plurale Essenzen ableiten: plurale Essenz: Bsp Angenommen, einige Dinge x, y usw. instanziieren eine Eigenschaft F und diese wiederum instanziiert eine Eigenschaft G. Diese Struktur induziert nun Extra-Eigenschaften der ursprünglichen Dinge x, y usw., und diese Eigenschaften, obwohl sie durch Individuen niedrigerer Stufe instanziiert werden, involvieren dennoch die Eigenschaft höherer Stufe G. Extra-Eigenschaft: hier: eine Eigenschaft vom G-Typ zu haben. Alternativ: Angenommen, x hat F was wiederum G hat. Angenommen, etwas anderes, z.B. z hat eine andere Eigenschaft, H, die auch G hat. Wir können annehmen, dass x weder H noch G hat, z dagegen hat nicht F und nicht G. Dann folgt, dass x und z etwas gemeinsam haben. Aber das ist weder F noch G noch H, sondern: Gemeinsames: eine Eigenschaft zu haben, die die Eigenschaft G hat. (Wie oben, die „Extra-Eigenschaft“). Mengen/Bigelow/Pargetter: Das kann auf Mengen angewendet werden, wir sagen, dass x, y usw. ein Universale instanziieren, z.B. F das wiederum ein Universale G instanziiert. G: nennen wir provisorisch eine Menge. Menge: ist ein besserer Kandidat für die „Extra-Eigenschaft“ als eine Eigenschaft von Eigenschaften. Def Elementbeziehung/Bigelow/Pargetter: ist hier einfach Instantiation. >Elementrelation. I 376 Es ist ein Vorteil unserer Theorie, dass sie die Elementbeziehung so einfach erklärt. Eigenschaft von Eigenschaften/Bigelow/Pargetter: Problem: Eine Eigenschaft von Eigenschaften ist durch eine Schicht in der Typenhierarchie getrennt. Und dennoch müsste x auch ein Element von G sein. Also könnte Elementschaft dann keine Instantiation sein. Vgl. >Typentheorie. Def Mengen/Bigelow/Pargetter: Mengen sind dann plurale Essenzen, induziert durch Eigenschaften von Eigenschaften. Def Leere Menge/Bigelow/Pargetter: ist eine Eigenschaft von Eigenschaften, genauer: eine Relation zwischen Universalien. Sie ist das, was disjunkte Paaren von Universalien gemeinsam haben. Diesmal wird aber keine Extra-Eigenschaft der Dinge zwei Stufe darunter induziert. Daher kann sie nicht als plurale Essenz konstruiert werden. Dennoch existiert die leere Menge. Damit haben wir alles zusammen, was das Unendlichkeitsaxiom rechtfertigt. >Unendlichkeitsaxiom._____________ Zeichenerklärung: Römische Ziffern geben die Quelle an, arabische Ziffern die Seitenzahl. Die entsprechenden Titel sind rechts unter Metadaten angegeben. ((s)…): Kommentar des Einsenders. Übersetzungen: Lexikon der ArgumenteDer Hinweis [Begriff/Autor], [Autor1]Vs[Autor2] bzw. [Autor]Vs[Begriff] bzw. "Problem:"/"Lösung", "alt:"/"neu:" und "These:" ist eine Hinzufügung des Lexikons der Argumente. |
Big I J. Bigelow, R. Pargetter Science and Necessity Cambridge 1990 |
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